契約満了を期に、更新をやめたいと派遣会社に伝えたところ、派遣先企業が困るから契約を更新してほしいと頼まれました。契約を更新する義務みたいなものはありますか？

契約期間が終わったのであれば、必ずしも契約を更新する必要はありません。契約更新という表現であっても、契約自体は新規の契約と何ら違いはありません。ですからそれを結ぶかどうかはすべてあなたしだいです。もし、条件が変われば再度契約しても良いとあなたが考えているのであれば、あなたが納得する条件を派遣会社に伝えてみるのもよいでしょう。